已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3).(1)求此函数的解析式及图象的对称轴;(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动,点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动,其中一个动点到达端点时,另一个也随之停止运动.设运动时间为t秒.①当t为何值时,四边形ABPQ为等腰梯形;②设PQ与对称轴的交点为M,过M点作x轴的平行线交AB于点N,设四边形ANPQ的面积为S,求面积S关于时间t的函数解析式,并指出t的取值范围;当t为何值时,S有最大值或最小值.

问题描述:

已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3).
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴;
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动,点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动,其中一个动点到达端点时,另一个也随之停止运动.设运动时间为t秒.
①当t为何值时,四边形ABPQ为等腰梯形;
②设PQ与对称轴的交点为M,过M点作x轴的平行线交AB于点N,设四边形ANPQ的面积为S,求面积S关于时间t的函数解析式,并指出t的取值范围;当t为何值时,S有最大值或最小值.

(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点C(0,-3),
∴c=-3,
将点A(3,0),B(2,-3)代入y=ax2+bx+c

0=9a+3b−3
−3=4a+2b−3

解得:a=1,b=-2.
∴y=x2-2x-3,
配方得:y=(x-1)2-4,
所以对称轴直线为:x=1;
(2)①由题意可知:BP=OQ=0.1t,
∵点B,点C的纵坐标相等,
∴BC∥OA,
过点B,点P作BD⊥OA,PE⊥OA,垂足分别为D,E,
要使四边形ABPQ为等腰梯形,只需PQ=AB,
∵BD⊥OA,PE⊥OA,垂足分别为D,E,
∴△ABD和△QPE为直角三角形,
当PQ=AB时,又∵BD=PE,
∴Rt△ABD≌Rt△QPE(HL),
∴QE=AD=1.
∵ED=BP=0.1t,DO=BC=2,
∴EO=2-0.1t,
又∵QE=OE-OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t,
∴2-0.2t=1,
解得t=5.
即t=5秒时,四边形ABPQ为等腰梯形.
②设对称轴与BC,x轴的交点分别为F,G.
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线,
∴BF=CF=OG=1.
又∵BP=OQ,
∴PF=QG.
又∵∠PMF=∠QMG,∠MFP=∠MGQ=90°,
∴△MFP≌△MGQ(AAS),
∴MF=MG,
∴点M为FG的中点,
∴S=S四边形ABPQ-S△BPN=S四边形ABFG-S△BPN
由S四边形ABFG=
1
2
(BF+AG)FG
=
9
2

S△BPN
1
2
BP×
1
2
FG=
3
40
t

∴S=
9
2
3
40
t

又∵BC=2,OA=3,
∴点P运动到点C时停止运动,需要20秒.
∴0<t≤20.
∴当t=20秒时,面积S有最小值3.
答案解析:(1)知道二次函数的解析式经过三点,把三点坐标代入就能求得函数解析式,由解析式写出对称轴.
(2)①过点B,点P作BD⊥OA,PE⊥OA,垂足分别为D,E,要使四边形ABPQ为等腰梯形,只需PQ=AB,算出时间t.
②设对称轴与BC,x轴的交点分别为F,G,根据题意求出PF=QG,MFP≌△MGQ,由S=S四边形ABPQ-S△BPN列出函数关系式,求出最小值.
考试点:二次函数综合题;待定系数法求二次函数解析式.

知识点:本题主要考查二次函数的应用,会求二次函数的对称轴等一系列问题,求最值问题一般可以转化为函数的最值问题,此题比较繁琐,做题需要耐心.