如图1,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.(1)求该抛物线的函数解析式;(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).①当t=2秒时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

问题描述:

如图1,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.

(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
①当t=2秒时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

(1)设抛物线的解析式为:y=a(x-2)2+4,则有
0=4a+4,
∴a=-1,
∴抛物线的解析式为:y=-(x-2)2+4;
(2)①∵y=-(x-2)2+4,
∴当y=0时,-(x-2)2+4=0,
∴x1=0,x2=4,
∴E(4,0),
设直线ME的解析式为:y=kx+b,则

4=2k+b
0=4k+b

解得:
k=−2
b=8

∴直线ME的解析式为:y=-2x+8,
∴当t=2时,P(2,2),
∴当x=2时,y=4=4,
∴当t=2时,点P不在直线ME上.
②设点N(t,-(t-2)2+4),则P(t,t),
∴PN=-t2+3t,
∵AD=2,AB=3
∴S=
(−t2+3t+3)×2
2
=-t2+3t+3,
∴S=-(t2-3t+
9
4
-
9
4
)+3=-(t-
3
2
2+
21 
4

∴当t=
3
2
时,S的最大值是
21
4

答案解析:(1)设出抛物线的顶点式y=a(x-2)2+4,将原点的坐标代入解析式就可以求出a的值,从而求出函数的解析式.
(2)①由(1)中抛物线的解析式可以求出E点的坐标,从而可以求出ME的解析式,再将P点的坐标代入直线的解析式就可以判断P点是否在直线ME上.
②设出点N(t,-(t-2)2+4),可以表示出PN的值,根据梯形的面积公式可以表示出S与t的函数关系式,从而可以求出结论.
考试点:二次函数综合题.

知识点:此题主要考查了待定系数法求函数的解析式,二次函数的最值,三角形的面积公式的运用,梯形的面积公式的运用.根据几何关系巧妙设点,把面积用t表示出来,转化为函数最值问题是解题关键.