在平面直角坐标系中 已知点A(0,4根号3)点B在X正半轴上 且∠ABO=30°动点P在线段图1,在平面直角坐标系中,已知点A(0.,4根号下3),点B在x正半轴上,且∠ABO=30°,动点P在线段AB上从点A向点B 以每秒 根号下3 个单位的运动速度,设运动时间为t秒,在x轴上取两点M,N作等边△PMN.(1)求直线AB的解析式.(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示),并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值(3)如果去OB的重点为D,以OD为边在RT△AOB内部作如图2所示的矩形ODCD,点C在线段AB上,设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0<t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值 

问题描述:

在平面直角坐标系中 已知点A(0,4根号3)点B在X正半轴上 且∠ABO=30°动点P在线段
图1,在平面直角坐标系中,已知点A(0.,4根号下3),点B在x正半轴上,且∠ABO=30°,动点P在线段AB上从点A向点B 以每秒 根号下3 个单位的运动速度,设运动时间为t秒,在x轴上取两点M,N作等边△PMN.(1)求直线AB的解析式.(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示),并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值(3)如果去OB的重点为D,以OD为边在RT△AOB内部作如图2所示的矩形ODCD,点C在线段AB上,设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0<t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值 

(1)由OA=4 3 ,∠ABO=30°,得到OB=12,
∴B(12,0),设直线AB解析式为y=kx+b,
把A和B坐标代入得: b=4 3 12k+b=0 ,
解得: k=- 3 3 b=4 3 ,
则直线AB的解析式为:y=- 3 3 x+4 3 .
(2)∵∠AOB=90°,∠ABO=30°,
∴AB=2OA=8 3 ,
∵AP= 3 t,
∴BP=AB-AP=8 3 - 3 t,
∵△PMN是等边三角形,
∴∠MPB=90°,
∵tan∠PBM=PM PB ,
∴PM=(8 3 - 3 t)× 3 3 =8-t.
如图1,过P分别作PQ⊥y轴于Q,PS⊥x轴于S,
可求得AQ=1 2 AP= 3 2 t,PS=QO=4 3 - 3 2 t,
∴PM=(4 3 - 3 t 2 )÷ 3 2 =8-t,
当点M与点O重合时,
∵∠BAO=60°,
∴AO=2AP.
∴4 3 =2 3 t,
∴t=2.
(3)①当0≤t≤1时,见图2.
设PN交EC于点H,重叠部分为直角梯形EONG,作GH⊥OB于H.
∵∠GNH=60°,GH=2 3 ,
∴HN=2,
∵PM=8-t,
∴BM=16-2t,
∵OB=12,
∴ON=(8-t)-(16-2t-12)=4+t,
∴OH=ON-HN=4+t-2=2+t=EG,
∴S=1 2 (2+t+4+t)×2 3 =2 3 t+6 3 .
∵S随t的增大而增大,
∴当t=1时,Smax=8 3 .
②当1<t<2时,见图3.
设PM交EC于点I,交EO于点F,PN交EC于点G,重叠部分为五边形OFIGN.
作GH⊥OB于H,
∵FO=4 3 -2 3 t,
∴EF=2 3 -(4 3 -2 3 t)=2 3 t-2 3 ,
∴EI=2t-2.
∴S=S梯形ONGE-S△FEI=2 3 t+6 3 -1 2 (2t-2)(2 3 t-2 3 )=-2 3 t2+6 3 t+4 3
由题意可得MO=4-2t,OF=(4-2t)× 3 ,PC=4 3 - 3 t,PI=4-t,
再计算S△FMO=1 2 (4-2t)2× 3 S△FMO=1 2 (4-2t)2× 3
S△PMN= 3 4 (8-t)2,S△PIG= 3 4 (4-t)2,
∴S=S△PMN-S△PIG-S△FMO= 3 4 (8-t)2- 3 4 (4-t)2-1 2 (4-2t)2× 3
=-2 3 t2+6 3 t+4 3
∵-2 3 <0,
∴当t=3 2 时,S有最大值,Smax=17 3 2 .
③当t=2时,MP=MN=6,即N与D重合,
设PM交EC于点I,PD交EC于点G,重叠部
分为等腰梯形IMNG,见图4.S= 3 4 ×62- 3 4 ×22=8 3 ,
综上所述:当0≤t≤1时,S=2 3 t+6 3 ;
当1<t<2时,S=-2 3 t2+6 3 t+4 3 ;
当t=2时,S=8 3 .
∵17 3 2 >8 3 ,
∴S的最大值是17 3 2 .

1)求直线AB解析式; 在Rt△ABO中,AO=4√3,∠ABO=30° 所以,AB=2AO=8√3 故根据勾股定理有,B0=12 所以,B(12,0) 设AB所在直线的解析式为:y=kx+b 将A(0,4√3)、B(12,0)代入上式,得到: k=-√3/3 b=4√3 所以,y=(-√3/3)x+4√3 (2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示),并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值; 因为△PMN为等边三角形,所以:∠MPN=∠PNM=60° 而,∠PNM=∠NPB+∠B=∠NPB+30° 所以,∠NPB=30° 所以,∠MPB=∠MPN+∠NPM=60°+30°=90° 即,MP⊥AB 亦即,△MPB为直角三角形 又,PM=MN=PN=BN 所以,N为Rt△MPB中点 所以,PM=MN=PN=BM/2 当AP=√3t时,PB=8√3-√3t=√3*(8-t) 那么,在Rt△MPB中,MBP=30° 所以,BM=[√3*(8-t)]/(√3/2)=2*(8-t) 所以,PM=NM=PN=BM/2=(8-t) 当M与O重合时,Rt△PMB即为Rt△PBO 此时,PM=PO=BO/2=6 所以:8-t=6 t=2 (3)如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上,设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值。 如图,设PM交CE于F,交AO于H;PN交CE于G 由(2)知,当t=2时,M与O重合 而,当t=1时,PM经过点E 所以,当0≤t≤1时,△OMN与矩形ODCE的重叠部分为直角梯形ONGE 而,当1≤t≤2时,△OMN与矩形ODCE的重叠部分为图中阴影部分 过点P作AO的垂线,垂足为Q;作CE的垂线,垂足为S 因为D是BO中点,所以:C、E分别为AB、AO中点 所以,点C(6,2√3) 因为PQ//CE//BO 所以:AP/AC=PQ/CE 即:(√3t)/(4√3)=PQ/6 所以,PQ=3t/2 所以,由勾股定理有:AQ=√3t/2 所以,QE=PS=AE-AQ=2√3-(√3t/2) 因为CE//BO,所以:△PFG∽△PMN 即,△PFG也为等边三角形 而,PS⊥FG 所以,S为FG中点 且∠GPC=∠GCP=30° 所以,PG=GC 那么,FG=GC=(2/√3)*PS=(2/√3)*[2√3-(√3t/2)]=4-t 而,CE=OD=6 所以,EF+FG+GC=EF+2*FG=EF+(8-2t)=6 所以:EF=2t-2 所以,EG=EF+FG=2t-2+4-t=t+2 而,在Rt△EFH中,∠EHF=30° 所以,EH=(√3)EF 所以,Rt△EFH的面积=(1/2)EF*EH=(√3/2)EF^2 =(√3/2)*[2(t-1)]^2 =2√3(t-1)^2 由(1)知,BN=PN=8-t 所以,ON=OB-BN=12-(8-t)=4+t 所以,直角梯形ONGE的面积=[(EG+ON)*OE]/2 =[(t+2+4+t)*2√3]/2 =2√3(t+3) 所以,阴影部分的面积S=[2√3(t+3)]-[2√3(t-1)^2] =(2√3)[(t+3)-(t-1)^2] =(2√3)(-t^2+3t+2) 因为1≤t≤2,所以,二次函数-t^2+3t+2有最大值 则,当t=-b/2a=3/2时: Smax=17/4

1)求直线AB解析式; 在Rt△ABO中,AO=4√3,∠ABO=30° 所以,AB=2AO=8√3 故根据勾股定理有,B0=12 所以,B(12,0) 设AB所在直线的解析式为:y=kx+b 将A(0,4√3)、B(12,0)代入上式,得到:k=-√3/3 b=4√3 所以,y=(-√3/3...