已知点A(x1,y1),B(x2,y2),记OA=(x1,y1),OB(x2,y2),定义运算OA·OB=x1x2+y1y2.设直线y=kx+4与抛物线y=1/4x²交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点.①若k=1,求线段AB的长度;②求证:无论实数k为何值,OA·OB的值为常数;③是否存在常数k,使得x1/x2+x2/x1=4,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.

问题描述:

已知点A(x1,y1),B(x2,y2),记OA=(x1,y1),OB(x2,y2),定义运算OA·OB=x1x2+y1y2.
设直线y=kx+4与抛物线y=1/4x²交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点.
①若k=1,求线段AB的长度;
②求证:无论实数k为何值,OA·OB的值为常数;
③是否存在常数k,使得x1/x2+x2/x1=4,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.