设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使得f′(ξ)+2f(ξ)=0.

问题描述:

设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使得f′(ξ)+2f(ξ)=0.

证明:令F(x)=e2xf(x),
则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=F(1).
由罗尔中值定理知,存在ξ∈(0,1),使得F′(ξ)=2ef(ξ)+ef′(ξ)=0,
即:f′(ξ)+2f(ξ)=0.