线性代数,设A是(n≥2)阶方阵,证明A*是A的伴随矩阵,r(A*)=1的充要条件是r(A)=n-1.
问题描述：
线性代数,设A是(n≥2)阶方阵,证明A*是A的伴随矩阵,r(A*)=1的充要条件是r(A)=n-1.
答
首先,当AB=0时r(A)+r(B)r(A)+r(A*)若r(A*)=1,则A有n-1阶非零子式,所以r(A)>=n-1,故r(A)=n-1；
若r(A)=n-1,则A有n-1阶非零子式,所以r(A*)>=1,故r(A*)=1.注意A*是A的伴随矩阵，里面每个元素是A的代数余子式。再注意r(A)=n-1就是说A至少有一个n-1的非零子式，且所有更高阶的子式全为0。