如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+4x+5的图象交x轴于点A、B(点A在点B的右边),交y轴于点C,顶点为P.点M是射线OA上的一个动点(不与点O重合),点N是x轴负半轴上的一点,NH⊥CM,

问题描述:

如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+4x+5的图象交x轴于点A、B(点A在点B的右边),交y轴于点C,顶点为P.点M是射线OA上的一个动点(不与点O重合),点N是x轴负半轴上的一点,NH⊥CM,交CM(或CM的延长线)于点H,交y轴于点D,且ND=CM.
(1)求证:OD=OM;
(2)设OM=t,当t为何值时以C、M、P为顶点的三角形是直角三角形?
(3)问:当点M在射线OA上运动时,是否存在实数t,使直线NH与以AB为直径的圆相切?若存在,请求出相应的t值;若不存在,请说明理由.

(1)∵NH⊥CM,∴∠OND+∠OMC=90°,∵∠OCM+∠OMC=90°,∴∠OND=∠OCM,∵ND=CM,∴△DON≌△MOC,∴OD=OM;(2)二次函数y=-x2+4x+5的顶点P(2,9),点C的坐标为(0,5),∴直线PC的解析式为y=2x+5,∵PC⊥CM...