在直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于A，交y轴于D（1）以A为直角顶点作等腰直角△AMD，直接写出点M的坐标为 _ （2）以AD为边作正方形ABCD，连BD，P是线段BD上（不与B、D重合）的一点，在BD上截
问题描述：
在直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于A，交y轴于D
（1）以A为直角顶点作等腰直角△AMD，直接写出点M的坐标为 ___
（2）以AD为边作正方形ABCD，连BD，P是线段BD上（不与B、D重合）的一点，在BD上截取PG=
，过G作GF⊥BD，交BC于F，连AP则AP与PF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论；
10
（3）在（2）中的正方形中，若∠PAG=45°，试判断线段PD、PG、BG之间有何关系，并证明你的结论．
答
（1）M（-6，2）或（2，-2）；
（2）AP=PF且AP⊥PF．理由如下：
过A作AH⊥DB，如图，
∵A（-2，0），D（0，4），
∴AD=
=2
42+22
，
5
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD=2
•
5
=2
2
，
10
∴AH=DH=
BD=1 2
，
10
而PG=
，
10
∴DP+BG=
，
10
而DH=DP+PH=
，
10
∴PH=BG，
∵∠GBF=45°，
∴BG=GF，
∴Rt△APH≌Rt△PFG，
∴AP=PF，∠PAH=∠FPG，
∴∠APH+∠GPF=90°，即AP⊥PF．
（3）DP2+BG2=PG2．理由如下：
把△AGB绕A点逆时针旋转90°得到△AMD，连MP，如图，
∴∠MDA=∠ABG=45°，DM=BG，∠MAD=∠BAG，
∴∠MDP=90°，
∴DP2+BG2=PM2；
又∵∠PAG=45°，
∴∠DAP+∠BAG=45°，
∴∠MAD+∠DAP=45°，即∠MAP=45°，
而AM=AG，
∴△AMP≌△AGP，
∴MP=PG，
∴DP2+BG2=PG2．