如图,在边长为4的正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,以AD为一边向右作正三角形ADE.(1)求△ABC的面积S;(2)判断AC、DE的位置关系,并给出证明.
问题描述:
如图,在边长为4的正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,以AD为一边向右作正三角形ADE.
(1)求△ABC的面积S;
(2)判断AC、DE的位置关系,并给出证明.
答
知识点:本题考查了正三角形的性质,特殊的三角函数值,三角形面积的计算,以及垂直的定义,解决的关键是对这些基本性质的理解和掌握.
(1)在正△ABC中,AD=AC×sin∠C=4×sin60°=4×
=2
3
2
,(2分)
3
∴S=
BC×AD=1 2
×4×21 2
=4
3
.(3分)
3
(2)AC、DE的位置关系:AC⊥DE.(1分)
在△CDF中,∵∠CDE=90°-∠ADE=30°,(2分)
∴∠CFD=180°-∠C-∠CDE=180°-60°-30°=90°.
∴AC⊥DE.(3分)
(注:其它方法酌情给分).
答案解析:(1)由AD⊥BC可得△ACD为直角三角形,因为△ABC为边长为4的正三角形,利用三角函数可求AD,从而求出面积;
(2)判断∠CFD=90°即可.
考试点:等边三角形的性质;垂线;锐角三角函数的定义.
知识点:本题考查了正三角形的性质,特殊的三角函数值,三角形面积的计算,以及垂直的定义,解决的关键是对这些基本性质的理解和掌握.