在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积．

分类: 作业答案 • 2023-01-18 23:58:01

问题描述：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．

（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积．

答

（1）证明：如图，连接OE
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠F，
又OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF；
（2）设⊙O半径为r，
由OE∥BC得△AOE∽△ABC，
∴

＝

，
即

r+4

2r+4

＝

，
∴r²-r-12=0，
解之得r₁=4，r₂=-3（舍），
经检验，r=4是原分式的解．
∴S_⊙O=πr²=16π．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F． （1）求证：BD=BF； （2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积．