如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论;(2)若PA:PB:PC=3:4:5,连接PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.
问题描述:
如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论;
(2)若PA:PB:PC=3:4:5,连接PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.
答
知识点:此题考查学生对等边三角形的性质,直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的综合运用.
(1)猜想:AP=CQ,证明:∵∠ABP+∠PBC=60°,∠QBC+∠PBC=60°,∴∠ABP=∠QBC.又AB=BC,BP=BQ,∴△ABP≌△CBQ,∴AP=CQ;(2)由PA:PB:PC=3:4:5,可设PA=3a,PB=4a,PC=5a,连接PQ,在△PBQ中由于PB=BQ=4a...
答案解析:根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ,从而得到AP=CQ;设PA=3a,PB=4a,PC=5a,由已知可判定△PBQ为正三角形从而可得到PQ=4a,再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形.
考试点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理的逆定理.
知识点:此题考查学生对等边三角形的性质,直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的综合运用.