答对了再给5分 已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx的导函数的图像关于直线x=2对称已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx的导函数的图像关于直线x=2对称10 - 提问时间2010-2-25 10:50 (1)求b的值（2）若f（x）在x=t处取得极小值,记此极小值为g(t),求g(t)的定义域还有g(t)的值域

(1)对f(x)求导数得 f’（x）=3x²+2bx+c
因为f’（x）图像关于直线x=2对称.所以对任意x∈R必有f’（x）=f’（4-x）成立.即3x²+2bx+c=3x²+x（-24-2b)+48+8b+c
对比系数得 b=-6
（2）由（1）得f’（x）=3x²-12x+c
因为f（x）有最小值，由因为x∈R，所以f（x）只有一个极值点.即△=144-12c=0 c=12
代回去求得极值点为x=2=t
所以g(t)的定义域{2}
(1)
f'(x) = 3x^2 + 2bx + c
图像关于直线x=2对称 -> -(2b)/6 = 2, b = -6.
(2)
f'(x) = 3x^2 - 12x + c,
这个函数单增单减再单增,
t = ( 12 + 根号(144 - 12c) )/6 属于(2,+infinity)
36 - 6c = (3t - 6)^2
c = 6t - 3/2 t^2
f(x)=t^3-6t^2+t(6t - 3/2 t^2)
= t^3-6t^2+6t^2 - 3/2 t^3
= -1/2 t^3 属于(-infinity, -1/4).

(1)对f(x)求导数得 f’（x）=3x²+2bx+c
因为f’（x）图像关于直线x=2对称.所以对任意x∈R必有f’（x）=f’（4-x）成立.即3x²+2bx+c=3x²+x（-24-2b)+48+8b+c
对比系数得 b=-6
（2）由（1）得f’（x）=3x²-12x+c
因为f（x）有最小值，由因为x∈R，所以f（x）只有一个极值点.即△=144-12c=0 c=12
代回去求得极值点为x=2=t
所以g(t)的定义域{2}

(1)
f'(x) = 3x^2 + 2bx + c
图像关于直线x=2对称 -> -(2b)/6 = 2,b = -6.
(2)
f'(x) = 3x^2 - 12x + c,
这个函数单增单减再单增,
t = ( 12 + 根号(144 - 12c) )/6 属于(2,+infinity)
36 - 6c = (3t - 6)^2
c = 6t - 3/2 t^2
f(x)=t^3-6t^2+t(6t - 3/2 t^2)
= t^3-6t^2+6t^2 - 3/2 t^3
= -1/2 t^3 属于(-infinity,-1/4).