已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2． （1）求q关于p的关系式； （2）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点； （3）设抛物线y=x2+px+q的顶点为M，且与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，求
问题描述：
已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x2+px+q的顶点为M，且与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式．
答
（1）把x=2代入得22+2p+q+1=0，即q=-（2p+5）；
（2）证明：∵一元二次方程x2+px+q=0的判别式△=p2-4q＞0，
由（1）得△=p2+4（2p+5）=p2+8p+20=（p+4）2+4＞0，（3分）
∴一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实根．（4分）
∴抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；（5分）
（3）抛物线顶点的坐标为M(−
，p 2
)，（6分）4q−p2
4
∵x1，x2是方程x2+px+q=0的两个根，
∴
，
x1+x2＝−p
x1x2＝q
∴|AB|＝|x1−x2|＝
＝
(x1+x2)2−4x1x2
．（7分）
p2−4q
∴S△AMB＝
|AB|•|1 2
|＝4q−p2
4
(p2−4q)1 8
，（8分）
p2−4q
要使S△AMB最小，只须使p2-4q最小．
由（2）得△=p2-4q=（p+4）2+4，
所以当p=-4时，有最小值4，此时S△AMB=1，q=3．（9分）
故抛物线的解析式为y=x2-4x+3．（10分）