动点P在x轴与直线l:y=3之间的区域(含边界)上运动,且到点F(0,1)和直线l的距离之和为4. (1)求点P的轨迹C的方程; (2)过点Q(0,-1)作曲线C的切线,求所作的切线与曲线C所围成
问题描述:
动点P在x轴与直线l:y=3之间的区域(含边界)上运动,且到点F(0,1)和直线l的距离之和为4.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)过点Q(0,-1)作曲线C的切线,求所作的切线与曲线C所围成区域的面积.
答
(1)设P(x,y),根据题意,得
+3-y=4,化简,得点P的轨迹C的方程y=
x2+(y−1)2
x2(y≤3).(4分)1 4
(2)设过Q的直线方程为y=kx-1,代入抛物线方程,整理得x2-4kx+4=0.
由△=16k2-16=0.解得k=±1.
于是所求切线方程为y=±x-1.
切点的坐标为(2,1),(-2,1).
由对称性知所求的区域的面积为S=2
[
∫
20
x2−(x−1)]dx=1 4
.(10分)3 4