已知函数f（x）=lnx2-2ax/e，（a∈R，e为自然对数的底数）． （Ⅰ）求函数f（x）的递增区间； （Ⅱ）当a=1时，过点P（0，t）（t∈R）作曲线y=f（x）的两条切线，设两切点为P1（x1，f（x1）），P
问题描述：
已知函数f（x）=lnx2-
，（a∈R，e为自然对数的底数）．2ax e
（Ⅰ）求函数f（x）的递增区间；
（Ⅱ）当a=1时，过点P（0，t）（t∈R）作曲线y=f（x）的两条切线，设两切点为P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2））（x1≠x2），求证：x1+x2=0．
答
（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）．
f′（x）=
-2 x
=2a e
．2(e−ax) ex
当a=0时，由f′（x）=
≥0，解得x＞0；2 x
当a＞0时，由f′（x）=
＞0，解得0＜x＜2(e−ax) ex
；e a
当a＜0时，由f′（x）=
＞0，解得x＞0，或x＜2(e−ax) ex
．e a
所以当a=0时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的递增区间是（0，
）；e a
当a＜0时，函数f（x）的递增区间是（-∞，
）∪（0，+∞）．e a
（Ⅱ）因为f′（x）=
-2 x
=2 e
，2(e−x) ex
所以以p1（x1，f（x1））为切点的切线的斜率为
；2(e−x1) ex1
以p2（x2，f（x2））为切点的切线的斜率为
．2(e−x2) ex2
又因为切线过点p（0，t），
所以t−lnx12+
＝2x1
e
(0−x1)；t−lnx22+2(e−x1) ex1
＝2x2
e
(0−x2)．2(e−x2) ex2
解得，x12=et+2，x22=et+2．则x12=x22．
由已知x1≠x2
所以，x1+x2=0．