已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,弦CE⊥AB于F,C是AD的中点,连接BD并延长交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、BC于点P、Q. (1)求证:P是△ACQ的外心; (2)若tan∠ABC=3/4,CF=8

问题描述:

已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,弦CE⊥AB于F,C是

AD
的中点,连接BD并延长交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、BC于点P、Q.

(1)求证:P是△ACQ的外心;
(2)若tan∠ABC=
3
4
,CF=8
,求CQ的长;
(3)求证:(FP+PQ)2=FP•FG.

(1)证明:∵C是

AD
的中点,∴
AC
CD

∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE⊥AB,∴∠ABC+∠PCQ=90°
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中,PC=PQ,
∵CE⊥直径AB,∴
AC
AE

AE
CD

∴∠CAD=∠ACE.
∴在△APC中,有PA=PC,
∴PA=PC=PQ
∴P是△ACQ的外心.
(2)∵CE⊥直径AB于F,
∴在Rt△BCF中,由tan∠ABC=
CF
BF
3
4
,CF=8,
BF=
32
3

∴由勾股定理,得BC=
CF2+BF2
=
40
3

∵AB是⊙O的直径,
∴在Rt△ACB中,由tan∠ABC=
AC
BC
=
3
4
,BC=
40
3

∴AC=10,
易知Rt△ACB∽Rt△QCA,
∴AC2=CQ•BC,
∴CQ=
AC2
BC
=
15
2

(3)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°
∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF⊥AB,∴∠ABG+∠G=90°
∴∠DAB=∠G;
∴Rt△AFP∽Rt△GFB,
AF
FG
FP
BF
,即AF•BF=FP•FG
易知Rt△ACF∽Rt△CBF,
∴CF2=AF•BF(或由射影定理得)
∴FC2=PF•FG,
由(1),知PC=PQ,∴FP+PQ=FP+PC=FC
∴(FP+PQ)2=FP•FG.