已知直线l经过点P(2,3),且被两平行直线l1:3x+4y=7和l2:3x+4y+3=0截得的线段之长为根号5,求直线l的方程.
问题描述：
已知直线l经过点P(2,3),且被两平行直线l1:3x+4y=7和l2:3x+4y+3=0截得的线段之长为根号5,求直线l的方程.
答
设L与L1、L2分别交于点A（x1,y1）、B（x2,y2）
又设L：y＝kx+b
则 （x1-x2）^2 +（y1-2y）^2 ＝5 ……①
因为A在L、L1上,B在L、L2上
y1＝kx1+b 【注：该式为A在L上的表达式】
y1＝（7-3x1）/4 ……②【注：该式为A在L1上的表达式】
y2＝kx2+b 【注：该式为B在L上的表达式】
y2＝（-3-3x2）/4 ……③【注：该式为B在L2上的表达式】
由②式得（4k+3）x1＝7-4b x1＝（7-4b）/4k+3……④
由③式得（4k+3）x2＝-3-4b x2＝（-3-4b）/4k+3……⑤
因为y1＝kx1+b y2＝kx2+b
所以
（x1-x2）^2 +（y1-2y）^2
＝（x1-x2）^2+k（x1-x2）^2
＝（1+k）（x1-x2）^2＝5 ……⑥
将④⑤带入⑥得 （1+k）（7-4b+3+4b）/（4k+3）＝5
化简得 10*（1+k）/（4k+3）＝5
即2k+2＝4k+3 ==>k=-1/2 y＝-1/2x+b
因为点P(2,3)在L上,所以 3＝-1/2*2+b ==>b=4
所以直线L为：y＝-0.5x+4