设p是实数，二次函数y=x2-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0）、B（x2，0）．（1）求证：2px1+x22+3p＞0；（2）若A、B两点之间的距离不超过|2p-3|，求P的最大值．
问题描述：
设p是实数，二次函数y=x2-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0）、B（x2，0）．
（1）求证：2px1+x22+3p＞0；
（2）若A、B两点之间的距离不超过|2p-3|，求P的最大值．
答
（1）∵二次函数y=x2-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0）、B（x2，0）．
∴△=4p2+4p＞0，x22-2px2-p=0，
∴2px1+x22+3p，
=2px1+2px2+p+3p，
=2p（x1+x2）+4p，
=4p2+4p＞0；
（2）AB=|x1-x2|，
=
，
(x1+x2)2-4x1x2
=
≤|2p-3|，
4p2+4p
解之得p≤
，9 16
又当p=
时满足题意，9 16
故p的最大值是
．9 16
答案解析：（1）由于二次函数y=x2-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点，由此得到其判别式是正数，同时把x2代入函数解析式然后变形即可解决问题；
（2）由于AB=|x1-x2|=
=
(x1+x2)2-4x1x2
，然后利用已知条件即可得到关于p的不等式，解不等式即可求解．
4p2+4p
考试点：抛物线与x轴的交点．
知识点：此题主要考查了抛物线与x轴的交点，首先利用抛物线与x轴有交点得到判别式是正数，然后利用图象上点的坐标满足解析式即可求解；同时也利用了公式AB=|x1-x2|=
=
(x1+x2)2-4x1x2
和解不等式．
4p2+4p