定长为6 的线段AB的端点A B在抛物线y^2=4x上移动,求AB的中点到y轴的距离的最小值,并求出此时AB中点的坐标
问题描述：
定长为6 的线段AB的端点A B在抛物线y^2=4x上移动,求AB的中点到y轴的距离的最小值,并求出此时AB中点的坐标
答
如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点的横坐标为(x1+x2)/2
抛物线的焦点F（1,0）,准线x=-1
利用抛物线的定义,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1
则|AB|≥|AF|+|BF|=x1+x2+2
∴ x1+x2+2≥6
∴ x1+x2≥4
∴ (x1+x2)/2≥2
∴ AB的中点到y轴的距离的最小值为2
此时A,B,F三点共线,x1+x2=4
设直线AB 方程 y=k(x-1)
代入抛物线方程
k²(x-1)²=4x
∴ k²x²-(2k²+4)x+k²=0
利用韦达定理 x1+x2=(2k²+4)/k²=4
∴ k²=2
∴ y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2-2)=2k=±2√2
∴ AB中点的坐标是（2,±√2）